已知函数f（x）=[xx2+1

x＞0时，∵f（x）=[x
x2+1=
1
x+
1/x]≤[1/2]，∴f（x）_max=[1/2]．
∵g（x）=
ex
x，∴g′(x)＝
ex(x−1)
x2，
令g′（x）=0，得x=1．
当x∈（0，1），g（x）′＜0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．
∴g（x）_min=g（1）=e．
∴对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），g（x）_min＞f（x）_max．
∵不等式
f(x1)
k≤
g(x2)
k+1恒成立，且k＞0，
∴

1
2
k≤
e
k+1，解得k≥[1/2e−1]．
∴正数k的取值范围是[[1/2e−1]，+∞）．
故答案为：[[1/2e−1]，+∞）．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，导数在函数的单调性，最值求解中的应用是解答本题的另一重要方法，函数的恒成立问题的转化，本题具有一定的难度．