试讨论函数f（x）=[xx2+1

解题思路：讨论x＞0时，f（x）的单调性与x＜0时，f（x）的单调性即可．

∵x＞0时，f（x）=
x
x2+1=
1
x+
1/x]≤
1
2
x•
1
x=[1/2]，
当且仅当x=1时“=”成立；
∴在x∈（0，1）时，f（x）是增函数，x∈（1，+∞）时，f（x）是减函数；
当x＜0时，f（x）=[x
x2+1=
1
x+
1/x]≥
1
−2
(−x)•
1
−x=-[1/2]，
当且仅当x=-1时“=”成立；
∴在x∈（-∞，-1）时，f（x）是减函数，x∈（-1，0）时，f（x）是增函数；
x=0时，f（0）=0；
如图所示；
综上，当x∈（-∞，-1）和x∈（1，+∞）时，f（x）是减函数；
当x∈（-1，0）和x∈（0，1）时，f（x）是增函数．

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查了函数的单调性问题，解题时应用分类讨论的方法，结合基本不等式，并且画出图形，便于解得问题，是基础题．

显然x^2+1≠0
当x=0，f(x）=0，一个点一般不讨论单调性的意义。
当x≠0，f（x）=1/（x+1/x）
由双勾函数的性质知：x∈（-无穷，-1】，【1，﹢无穷）递减
x∈【-1,0），（0，1】递增
又当x=0，f(x）=0，一个点一般不讨论单调性的意义。
所以x∈【-1,1】递增...

f(x)=x/(x^2+1)
f'(x)=[1*(x^2+1)-x*2x]/(x^2+1)^2
=(1-x^2)/(x^2+1)^2
当1-x^2≥0时，f'(x)≥0
∴f(x)在[-1,1]上单调递增
当1-x^2≤0时，f'(x)≤0
∴f(x)在(-∞,-1]∪[1,+∞)上单调递增

定义域为R
假设x1＞x2
则，f(x1)-f(x2)=[x1/(x1^2+1)]-[x2/(x2^2+1)]
=[x1*(x2^2+1)-x2*(x1^2+1)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
=[(x1*x2^2-x2*x1^2)+(x1-x2)]/[(x1^2+1)(x2^1+1)]
=[-x1x2*(x1-x2)+(x1-x2)]/[(x1^...

这种题目我们常常讨论一下，然后变形。
当x=0时，f(0)=0.
当x>0时，分子分母同除以x，得到f(x)=1/{x+(1/x)}.
对于g(x)=x+(1/x)来说，当且仅当x=1时，g(x) 出现最小值2。所以在区间（0， 1）上g(x)是减函数；在区间x>1上g(x)是增函数。（其实g(x)是对称轴从x轴逆时针旋转了70多度的双曲线）。
于是，函数f(x),...