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解题思路：（Ⅰ）分情况讨论：①当b=0时，②当b＞0时，③当b＜0时，然后利用导数即可求得单调区间；
（Ⅱ）f（x）≥1等价于b≤-x2+x，g（x）=-x2+x，则“∃x∈[[1/4]，[3/4]]，使得b≤-x2+x”等价于b小于等于g（x）在区间[[1/4]，[3/4]]上的最大值．
（Ⅱ）f（x）≥1等价于b≤-x2+x，g（x）=-x2+x，则“∃x∈[[1/4]，[3/4]]，使得b≤-x2+x”等价于b小于等于g（x）在区间[[1/4]，[3/4]]上的最大值．
（Ⅰ）①当b=0时，f（x）=[1/x]．
故f（x）的单调减区间为（-∞，0），（0，+∞）；无单调增区间．
②当b＞0时，f′（x）=
b−x2
(x2+b)2．
令f′（x）=0，得x1=
b，x2=-
b．
f（x）和f′（x）的情况如下：
x （-∞，-
b） -
b （-
b，
b）
b （
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立及函数在区间上的最值问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力．
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（2014•安徽模拟）函数f（x）=xx2+1的图象大致是（ ）
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你能帮帮他们吗