已知f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且x∈[-1，0]时，f(x)＝xx2+1．

解题思路：（1）分别把x=0，x=-1代入已知函数解析式可求
（2）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，则f(−x)＝

−x

x2+1

结合函数f（x）为偶函数有f（-x）=f（x）可求
（3）利用定义，设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x2)−f(x1)＝

−x2

x22+1

−

−x1

x12+1

＝

(x2−x1)(x1x2−1)

(x22+1)(x12+1)

，根据已知即可判断f（x₂）与f（x₁）的大小即可

（1）当x=0，x=-1时，f(0)＝0，f(−1)＝−
1
2…（2分）
（2）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，则f(−x)＝
−x
x2+1…（4分）
因为函数f（x）为偶函数，所以有f（-x）=f（x）
既f(x)＝
−x
x2+1…（6分）
所以f(x)＝


−x
x2+1，x∈[0，1]

x
x2+1，x∈[−1，0)…（8分）
（3）设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x2)−f(x1)＝
−x2
x22+1−
−x1
x12+1＝
(x2−x1)(x1x2−1)
(x22+1)(x12+1)…（12分）
∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0…（14分）
∴
(x2−x1)(x1x2−1)
(1+ x12)(1+x22)＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在[0，1]为单调减函数…（16分）

点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的值．

考点点评： 本题主要考察了由函数的解析式求解函数值，利用偶函数的性质求解函数的解析式，利用函数单调性的定义判断函数在某一区间上的单调性，属于函数知识的综合考查