在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,PA垂直面ABCD,PA=AD=2AB,M为PD上的点,若PD垂直面MAB
在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,PA垂直面ABCD,PA=AD=2AB,M为PD上的点,若PD垂直面MAB
1,求证；M为PD的中点
2,求二面角A-BM-C的大小
1,求证；M为PD的中点
2,求二面角A-BM-C的大小
赞 kk的问题 幼苗
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第一个问题：
∵PD⊥平面MAB,∴PD⊥AM,又PA＝AD,∴M为PD的中点.
第二个问题：
令AB＝a.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,又PA＝AD＝2a,∴PD＝2√2a,∴AM＝PD/2＝√2a.
∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA.
∵ABCD是矩形,∴AB⊥AD.
由AB⊥AD、AB⊥PA、PA∩AD＝A,得：AB⊥平面PAD,∴AB⊥AM,
∴BM＝√（AB^2＋AM^2）＝√（4a^2＋2a^2）＝√6a.
∵ABCD是矩形,∴CD＝AB＝2a、CD∥AB,
又AB⊥平面PAD,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD.
显然有：DM＝PD/2＝√2a,∴CM＝√（CD^2＋DM^2）＝√（4a^2＋2a^2）＝√6a.
取BC的中点为E.
∵BM＝√6a、CM＝√6a,∴BM＝CM,∴EM⊥BC.
∵ABCD是矩形,∴BC＝AD＝2a,∴CE＝BC/2＝AD/2＝a.
∴EM＝√（CM^2－CE^2）＝√（6a^2－a^2）＝√5a.
还有：AC＝√（AD^2＋CD^2）＝√（4a^2＋a^2）＝√5a.
在BM上取一点N,使AN⊥BM、CN⊥BM,则：∠ANC就是二面角A－BM－C的平面角.
由三角形面积公式,有：
（1/2）BM×AN＝（1/2）AB×AM、 （1/2）BM×CN＝（1/2）BC×EM,
∴√6a×AN＝a×√2a、 √6a×CN＝2a×√5a,
∴AN＝a/√3、 CN＝2√5a/√6.
由余弦定理,有：
cos∠ANC＝（AN^2＋CN^2－AC^2）/（2AN×CN）
＝（a^2/3＋4×5a^2/6－5a^2）/［2（a/√3）×（2√5a/√6）］
＝（1/3＋10/3－5）/［4√5/（3√2）］＝－（4/3）×（3√2）/（4√5）＝－√2/√5＝－√10/5.
∵PD⊥平面MAB,∴PD⊥AM,又PA＝AD,∴M为PD的中点.
第二个问题：
令AB＝a.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,又PA＝AD＝2a,∴PD＝2√2a,∴AM＝PD/2＝√2a.
∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA.
∵ABCD是矩形,∴AB⊥AD.
由AB⊥AD、AB⊥PA、PA∩AD＝A,得：AB⊥平面PAD,∴AB⊥AM,
∴BM＝√（AB^2＋AM^2）＝√（4a^2＋2a^2）＝√6a.
∵ABCD是矩形,∴CD＝AB＝2a、CD∥AB,
又AB⊥平面PAD,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD.
显然有：DM＝PD/2＝√2a,∴CM＝√（CD^2＋DM^2）＝√（4a^2＋2a^2）＝√6a.
取BC的中点为E.
∵BM＝√6a、CM＝√6a,∴BM＝CM,∴EM⊥BC.
∵ABCD是矩形,∴BC＝AD＝2a,∴CE＝BC/2＝AD/2＝a.
∴EM＝√（CM^2－CE^2）＝√（6a^2－a^2）＝√5a.
还有：AC＝√（AD^2＋CD^2）＝√（4a^2＋a^2）＝√5a.
在BM上取一点N,使AN⊥BM、CN⊥BM,则：∠ANC就是二面角A－BM－C的平面角.
由三角形面积公式,有：
（1/2）BM×AN＝（1/2）AB×AM、 （1/2）BM×CN＝（1/2）BC×EM,
∴√6a×AN＝a×√2a、 √6a×CN＝2a×√5a,
∴AN＝a/√3、 CN＝2√5a/√6.
由余弦定理,有：
cos∠ANC＝（AN^2＋CN^2－AC^2）/（2AN×CN）
＝（a^2/3＋4×5a^2/6－5a^2）/［2（a/√3）×（2√5a/√6）］
＝（1/3＋10/3－5）/［4√5/（3√2）］＝－（4/3）×（3√2）/（4√5）＝－√2/√5＝－√10/5.
1年前 追问
7
非常抱歉，原来所给的答案中，第二个问题的答案是错误的。现用向量解法更正如下： 以A为原点，AD、AP、AB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用赋值法，令点B、C、D、P的坐标依次为： （0，0，1）、（2，0，1）、（2，0，0）、（0，2，0）。 第一个问题： 设PM/MD＝a，由定比分点坐标公式，得： M的坐标是（2a/（1＋a），2/（1＋a），0）。 ∴向量AM＝（2a/（1＋a），2/（1＋a），0）， 向量PD＝（2，－2，0）。 ∵PD⊥平面MAB，∴向量AM⊥向量PD， ∴向量AM·向量PD＝4a/（1＋a）－4/（1＋a）＝0， ∴a＝1，∴PM/MD＝1，∴PM＝MD，∴M是PD的中点。 第二个问题： 由第一个问题的结论，得M的坐标为（1，1，0）。 设过A作AN⊥BM交BM于N，令BN/NM＝b。 由定比分点坐标公式，得：N的坐标为：（b/（1＋b），b/（1＋b），1/（1＋b））。 ∴向量NA＝（－b/（1＋b），－b/（1＋b），－1/（1＋b））， 向量BM＝（1，1，－1）。 ∴向量BM·向量NA＝－b/（1＋b）－b/（1＋b）＋1/（1＋b）＝0， ∴b＝1/2。 ∴N的坐标为：（1/3，1/3，2/3）。 过N作NE⊥BM与直线BC交于E，令CE/EB＝c。 由定比分点坐标公式，得：E的坐标为（2/（1＋c），0，1）。 ∴向量NE＝（2/（1＋c）－1/3，－1/3，1/3）。 ∴向量BM·向量NE＝2/（1＋c）－1/3－1/3－1/3＝0， ∴c＝1。 ∴向量NE＝（2/3，－1/3，1/3）。 显然，∠ANE是二面角A－BM－C的平面角。 容易求出：向量NA＝（－1/3，－1/3，－2/3） ∴cos∠ANE＝向量NA·向量NE/（｜向量NA｜｜向量NE｜） ＝（－2/9＋1/9－2/9）/［√（1/9＋1/9＋4/9）√（4/9＋1/9＋1/9）］ ＝－3/6＝－1/2。 ∴∠ANE＝120°，即：二面角A－BM－C的大小为60°。
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1年前1个回答
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