已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．

解题思路：（1）设f（x）=ax²+bx+c，则f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2ax+a+b，根据对应项的系数相等可分别求a，b，c．
（2）对函数进行配方，结合二次函数在[-1，1]上的单调性可分别求解函数的最值．

（1）设f（x）=ax²+bx+c，
则f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2ax+a+b
∴由题

c＝1
2ax+a+b＝2x恒成立
∴

2a＝2
a+b＝0
c＝1 得

a＝1
b＝−1
c＝1
∴f（x）=x²-x+1
（2）f（x）=x²-x+1=(x−
1
2)2+
3
4在[-1，[1/2]]单调递减，在[[1/2]，1]单调递增
∴f(x)min＝f(
1
2)＝
3
4，f（x）_max=f（-1）=3

点评：
本题考点： 二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．

考点点评： 本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，及二次函数在闭区间上的最值的求解，要注意函数在所给区间上的单调性，一定不能直接把区间的端点值代入当作函数的最值．