（2014•湖北）已知函数f（x）=[1+ax/1−x]e-2x

解题思路：（1）求导数，利用函数y=f（x）在x=2时有极值，可得f′（2）=0，即可求a的值；
（2）对任意x∈（0，1）时，f（x）＞1恒成立，可知a＞

(1−x)e2x−1

x

，证明x∈（0，1）时，

(1−x)e2x−1

x

＜1恒成立，即可求a的取值范围．

（1）∵f（x）=[1+ax/1−x]e^-2x，
∴f′（x）=
a+1−2(1+ax)(1−x)
(1−x)2e^-2x，
∵函数y=f（x）在x=2时有极值，
∴f′（2）=0，
∴5a+3=0，
∴a=-[3/5]；
（2）由对任意x∈（0，1）时，f（x）＞1恒成立，
可知a＞
(1−x)e2x−1
x，
下面证明x∈（0，1）时，
(1−x)e2x−1
x＜1恒成立，
只需证明：（1-x）e^2x＜1+x，
只需证明x∈（0，1）时，g（x）=（x-1）e^2x+（x+1）＞0．
∵g′（x）=e^2x（2x-1）+1＞g′（0）=0，
∴g（x）在（0，1）上单调递增，
∴g（x）＞g（0）=0恒成立，
∴x∈（0，1）时，
(1−x)e2x−1
x＜1恒成立，

lim
x→0
(1−x)e2x−1
x=
lim
x→0
m(x)−m(0)
x−0（m（x）=（1-x）e^2x）=m′（x）|_x=1=1，
∴
(1−x)e2x−1
x的最小上界为1，
∴a≥1．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．