（2014•湖北模拟）已知函数f（x）=（bx+c）lnx在x=[1/e]处取得极值，且在x=1处的切线的斜率为1．

（1）∵f（x）=（bx+c）lnx，
∴f′(x)＝blnx+b+
c
x，（导数公式与运算法则）
∵在x=[1/e]处取得极值，且在x=1处的切线的斜率为1，
∴

f′(
1
e)＝−b+b+ce＝0
f′(1)＝b+c＝1（函数极值的定义）
解得

b＝1
c＝0，（3分）
则f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，
当f′（x）=lnx+1＜0，
有x∈(0，
1
e)，（导数符号与单调性的关系）
故f（x）的单调减区间为(0，
1
e)．（6分）
（2）由（1）知f（x）在(0，
1
e)单调递减，
在(
1
e，+∞)单调递增，故在x∈[
e
2，2e]单调递增，
故f_max=f（2e）=2eln（2e），
fmin＝f(
e
2)＝
e
2ln(
e
2)（最值与函数单调性的关系）（14分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．