已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A（2，0），一条渐近线为y＝12x，过点B（0，2）且斜率

（I）由题意，a=2，[b/a＝
1
2]，∴b=1
∴双曲线的方程为
x2
4−y2＝1
设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线方程，可得（4k²-1）x²+16kx+20=0
∵过点B（0，2）且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P，Q
∴4k²-1≠0且△=256k²-80（4k²-1）＞0，即k2≠
1
4且k2＜
5
4
解得-

5
2＜k＜

5
2且k≠±
1
2；
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=[−16k
4k2−1，
∵
/OP+

OQ]=（x₁+x₂，y₁+y₂），

AB=（-2，2），

OP+

OQ与

AB垂直
∴-2（x₁+x₂）+2（y₁+y₂）=0
∴（x₁+x₂）（k-1）+4=0
∴
−16k(k−1)
4k2−1+4=0
∴k=[1/4]
∴存在常数k=[1/4]，使得向量

OP+

OQ与

AB垂直．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．