（2007•东城区二模）已知双曲线x2a2−y2b2＝1的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，且AB•AF＝−1，
（2007•东城区二模）已知双曲线
−
＝1的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，且
•
＝−1，∠BAF=120°．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（0，4）的直线l交双曲线C于M、N两点，交x轴于点Q（点Q与双曲线C的顶点不重合），当
＝λ1
＝λ2
，且λ1+λ2＝−
时，求点Q的坐标．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| AB |
| AF |
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（0，4）的直线l交双曲线C于M、N两点，交x轴于点Q（点Q与双曲线C的顶点不重合），当
| PQ |
| OM |
| ON |
| 32 |
| 7 |
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解题思路：（Ⅰ）由条件可知A，B，F的坐标根据
•
＝−1和cosBAF＝
联立求得a和c，进而求得b．双曲线方程可得．
（Ⅱ）设l的方程，M和N的坐标，依题意可得Q的坐标，根据
＝λ1
＝λ2
表示出x1和y1，把M代入双曲线方程整理后求得k，点Q的坐标可得．
| AB |
| AF |
| ||||
|
|
（Ⅱ）设l的方程，M和N的坐标，依题意可得Q的坐标，根据
| PQ |
| OM |
| ON |
（Ⅰ）由条件知A（a，0），B（0，b）F（c，0）．
AB•
AF＝(−a，b)•(c−a，0)＝a(a−c)＝−1．①
cosBAF＝
AB•
AF
|
AB|•|
AF|＝
a(a−c)
c(c−a)＝−
a
c＝cos120°＝−
1
2．∴c=2a．②
解①，②得a=1，c=2．则b2=c2-a2=3．
故双曲线C的方程为x2−
y2
3＝1．
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在且不等于零，
设l的方程为：y＝kx+4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则Q(−
4
k，0)．
∴
PQ＝λ1
点评：
本题考点： 双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合运用所学知识的能力．
1年前
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