（2014?商丘二模）已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为F（1，0），A、B是椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上异于A、

（1）由题意可设椭圆C方程为：
x2
a2+
y2
b2=1（a＞b＞0），则
因为右焦点为F（1，0），△APB面积的最大值为2
3，
所以


1
2?2a?b＝2
3
a2?b2＝1，
所以a=2，b=
3，
所以椭圆C的方程为
x2
4+
y2
3＝1．…（6分）
（2）证明：由题意，设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）．
则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．
由直线方程代入椭圆方程可得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
设点P的坐标为（x₀，y₀），则-2x₀=
16k2?12
3+4k2．
所以x₀=
6?8k2
3+4k2，y₀=[12k
3+4k2．…（10分）
因为点F坐标为（1，0），
当k=±
1/2]时，点P的坐标为（1，±[3/2]），点D的坐标为（2，±2）．
直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆（x-2）²+（y-2k）²=1与直线PF相切．…（11分）
当k≠±[1/2]时，则直线PF的斜率
y0
x0?1=[4k
1?4k2．
所以直线PF的方程为y=
4k
1?4k2（x-1）． …（13分）
点E到直线PF的距离d=
|
8k
1?4k2?2k?
4k
1?4k2|


16k2
(1?4k2)2+1=2|k|．…（15分）
又因为|BD|=4|k|，所以d=
1/2]|BD|．
故以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上得，以BD为直径的圆与直线PF相切． …（16分）