（2014•郴州二模）已知椭圆C1的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0），点A（2，3）在椭圆
（2014•郴州二模）已知椭圆C1的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0），点A（2，3）在椭圆C1上，过点A的直线L与抛物线C2：x2=4y交于B、C两点，抛物线C2在点B，C处的切线分别为l1，l2，且l1与l2交于点P．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点P的坐标）；若不存在，说明理由．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点P的坐标）；若不存在，说明理由．
赞 梦惊魂 幼苗
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解题思路：（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；
（2）设出点B，C的坐标，利用A，B，C三点共线即可得出坐标之间的关系，利用导数的几何意义可得切线的斜率，在得出切线的方程，即可得出交点P的坐标代入上面得到的关系式即可得到交点P的轨迹方程．由|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|，则点P在椭圆C1上，而点P又在直线y=x-3上，直线经过椭圆C1的内部一点（3，0），即可判断出其交点个数．
（2）设出点B，C的坐标，利用A，B，C三点共线即可得出坐标之间的关系，利用导数的几何意义可得切线的斜率，在得出切线的方程，即可得出交点P的坐标代入上面得到的关系式即可得到交点P的轨迹方程．由|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|，则点P在椭圆C1上，而点P又在直线y=x-3上，直线经过椭圆C1的内部一点（3，0），即可判断出其交点个数．
（1）设椭圆的标准方程为
x2
a2+
y2
b2=1(a＞b＞0)，
由题意可得
22
a2+
32
b2=1
a2=b2+4解得
a2=16
b2=12．
∴椭圆C1的方程为
x2
16+
y2
12=1；
（2）设点B(x1，
1
4
x21)，C(x2，
1
4
x22)，则
BC=(x2-x1，
1
4(
x22-
x
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
考点点评： 本题主要考查椭圆、抛物线曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归于转化的数学数学方法，以及推理论证能力、计算能力、创新意识．
1年前
8
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