如图所示,在平面直角坐标系xOy上放置一个边长为1的正方形PABC,此正方形PABC沿x轴滚动（向左或向右均可）

（1）正方形以A点为支点,AP为半径转动90°,以B点为支点,BP为半径转动90°,以C点为支点,CP为半径转动90°,此时P点落到x轴上∴m=AP+AB+BC+CP=4,点P运动的路径长度为L=π/2*1+π/2*√2+π/2*1=π/2*(2+√2)（2）令y=f(x)当4k≤x≤4k+1时,点P的轨迹在圆(x-(4k+1))^2+y^2=1 (4k≤x≤4k+1,y≥0)上∴y=√[1-(x-(4k+1))^2] (4k≤x≤4k+1)当4k+1≤x≤4k+3时,点P的轨迹在圆(x-(4k+2))^2+y^2=2 (4k+1≤x≤4k+3,y≥0)上∴y=√[2-(x-(4k+2))^2] (4k+1≤x≤4k+3)当4k+3≤x≤4k+4时,点P的轨迹在圆(x-(4k+3))^2+y^2=1 (4k+3≤x≤4k+4,y≥0)上∴y=√[1-(x-(4k+3))^2] (4k+3≤x≤4k+4)对于x∈[4k-2,4k+2],k∈Z 当x∈[4k-2,4k-1]时,y=√[2-(x-(4k+2))^2] (4k-2≤x≤4k-1) 当x∈[4k-1,4k]时,y=√[1-(x-(4k+3))^2] (4k-1≤x≤4k) 当x∈[4k,4k+1]时,y=√[1-(x-(4k+1))^2] (4k≤x≤4k+1) 当x∈[4k+1,4k+2]时,y=√[2-(x-(4k+2))^2] (4k+1≤x≤4k+2)由图像易知,函数关于y轴对称,是偶函数函数单调递增区间为[4k,4k+2],单调递减区间为[4k-2,4k]零点为x=4k (k∈Z)的点,此时P点落在x轴上（3）f(x)=a|x| 在区间[-8,8]上的根的个数即为函数f(x)与直线y=a|x|的交点个数①当a=0时,f(x)=0,f(x)在[-2,2]上有一个零点,∴f(x)在(-8,8)上有3个零点再加上区间端点上共有2个零点,∴总共有5个零点即方程f(x)=0在[-8,8]上有5个根②当a>0时,直线y=a|x|>0,位于x轴上方f(x)与y=a|x|的交点个数与a的取值有关考虑f(x)=√[2-(x-6)^2] (5≤x≤7) 与y=ax (x>0)相切的情况对f(x)求导,得 f'(x)=-(x-6)/√[2-(x-6)^2]相切,有 f(x)=√[2-(x-6)^2]=ax, f'(x)=-(x-6)/√[2-(x-6)^2]=a联立,解得a=1/√17∴当a=1/√17时,f(x)与y=a|x|在正半轴上刚好有2个交点,由对称性知,在负半轴上也刚好有2个交点,加上原点,共有5个交点当01/√17时,f(x)与y=a|x|在正半轴有1个交点,负半轴有1个交点,加原点1个,共有3个交点当a->+∞时,即直线与y轴重合时,与f(x)只有1个交点,即原点③当a<0时,直线y=a|x|<0,位于x轴下方无论何时,直线y=a|x|与f(x)只有1个交点,即原点 综上所述,方程f(x)=a|x|在区间[-8,8]上： 当a<0或a->+∞时,有1个根； 当a>1/√17时,有3个根 当a=0或a=1/√17时,有5个根； 当0

m=4

当0

当1

当3

x属于[-2,2]时

图象为圆弧组成

当-2<=x<=-1时,f(x)=√[2-(x+2)^2]

当-1

当0

当1

由此可得

当4k-2<=x<=4k-1时,f(x)=√[2-(x+2-4k)^2]

当4k-1

当4k

当4k+1

性质由图自己可得,略

（2）函数图象因为正方形沿x轴滚动的周期性而构成周期函数。令k=1，首先研究f(x)在区间[2,6]上的图象形式并找出其函数表达式。

当x=2时，P点位于B点正下方，函数取极大值√2并P继续沿半径为√2的四分之一圆弧（圆心在(2,0)）运动下降，直至x=3~f(x)=1，这一区间函数f(x)可表示为：f(x)=√[2-(x-2)^2)]；

接着P再沿半径为1的四分之一圆弧（圆心在(3,0)）下降直至x=4~f(x)=0，这一区间函数f(x)可表示为：f(x)=√[1-(x-3)^2)]；

此后f(x)值开始变大，P首先沿半径为1的四分之一圆弧（圆心在(5,0)）上升，直至x=5~f(x)=1，这一区间函数f(x)可表示为：f(x)=√[1-(x-5)^2)]；

随后P沿半径为√2的四分之一圆弧（圆心在(6,0)）运动上升直至x=6~f(x)=1，这一区间函数f(x)可表示为：f(x)=√[2-(x-6)^2)]；

对照函数周期m=4，可知f(x)可以表示为下列分段函数形式（k属于整数）：

f(x)=√[2-(x-(4k-2))^2)]，4k-2≦x<4k-1，P点下降，f(x)值由√2减小到1；

f(x)=√[1-(x-(4k-1))^2)]，4k-1≦x<4k，P点下降，f(x)值由1减小到0；

f(x)=√[1-(x-(4k+1))^2)]，4k≦x<4k+1，P点上升，f(x)值由0增加到1；

f(x)=√[2-(x-(4k+2))^2)]，4k+1≦x<4k+2，P点上升，f(x)值由1增加至√2；

将上述各表达式中x换作-x，函数值不变，故f(x)是偶函数；

f(x)是一种周期函数，其递增递减区间与上述令k=1析时相同，在4k-2≦x<4k区间函数f(x)单调递减；在4k≦x<4k+2区间f(x)单调递增；

从上面分析过程可以看出，函数f(x)零点在x=4k，即坐标x取值4（正方形周长）的倍数时。

（3）函数f(x)在区间[-8，8]上关于y对称，而函数a|x|关于原点轴对称，因此仅需探究f(x)=|a|*|x|在[0,8]区间根的个数即可。

将函数f(x)和|a|*|x|画出图象就很容易看出，除a=0,±∝外，直线y=|a|*|x|与f(x)至少相交有2点，最多相交6点；

①当a=0方程f(x)=a|x|=0表示f(x)在给定区间有几个零点，由图象可知，方程共有5个根（零点）；

②当a=±∝时，只能x=0，仅此一根；

③当f(x)与|a|*|x|在大弧上有一切点时，方程共有3个根，a无论正负，在[-8,8]区域方程共有3个根；此时|a|由f'(x)=|a|求得（f(x)是k=1时半径为√2的上升段圆弧，函数形式为上述第四种）,从图象容易看出：sin(arctan|a|)=√2/6，所以 |a|=tan(arcsin(√2/6)=√17/17；

④当f(x)与|a|*|x|在小弧上有一切点时，方程共有5个根；此时|a|由f'(x)=|a|求得（f(x)是k=1时半径为1的上升段圆弧，函数形式为上述第三种）：sin(arctan|a|)=1/5，|a|=tan(arcsin(1/5)=√24/24；

⑤当|a|=1/5时，方程有五个根；

⑥当1/5<|a|<√24/24，方程有六个根；

⑦当√24/24<|a|<√17/17时，在[0,8]区域共有4个根；

⑧当|a|>√17/17时，在[0,8]区域共有2个根；