请教一道高数的证明题设b>a>e,证明(a^b)>(b^a)

lishaozhong1969 1年前 已收到3个回答 举报

滴达 幼苗

共回答了22个问题采纳率:81.8% 举报

要证b^a>a^b
只需证明ln(b^a)>ln(a^b)
即:alnb>blna
又:a>b>e
则:lna>lnb>1
所以只需证明lnb/b>lna/a即可
令f(x)=lnx/x
f'(x)=(1-lnx)/x^2
当lnx>1即x>e时,f'(x)b>e时,f(a)lna/a
故原命题得证

1年前

16

zc好难啊 幼苗

共回答了27个问题 举报

原式两边取对数
(a^b)>(b^a)
转换为
bLna>aLnb
就是要证
(Lna)/a>(Lnb)/b
可以知道当x>e时
y=(Lnx)/x是减函数
求导可以证明
所以当b>a时
bLna>aLnb
注 Ln是自然对数符号

1年前

4

转身那些影音 幼苗

共回答了91个问题 举报

blna/alnb>1
也就是证lna/a>lnb/b
y=lnx/x
y'=1/x^2-lnx/x^2
在区间(e,+∞) y'<0
y=lnx/x单调递减
又b>a>e
所以lna/a>lnb/b
blna>alnb
e^(blna)>e^(alnb)
∴(a^b)>(b^a)

1年前

3
可能相似的问题
Copyright © 2024 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 18 q. 0.030 s. - webmaster@yulucn.com