（2010•浦东新区二模）设函数f（x）=x2-2a|x|（a＞0）．

解题思路：（1）根据绝对值的意义判断出f（x）的奇偶性，再利用偶函数的图象关于y轴对称，求出函数在（0，+∞）上的单调区间，
（2）只要求出当x＞0时，函数f（x）=x²-2ax（a＞0）最小值进而利用f（x）_min≤-1解答此题．

（1）由题意，函数f（x）=x²-2a|x|（a＞0）的定义域D=R，对于任意的x∈D，恒有f（-x）=x²-2ax=f（x），
所以函数f（x）是偶函数．（3分）
当x＞0时，函数f（x）=x²-2ax（a＞0）
且[a，+∞）⊂（0，+∞），所以此时函数f（x）的单调递增区间是[a，+∞）（3分）
（2）由（1）得函数f（x）是偶函数，所以我们只要求出x＞0时f（x）的最小值即可，当x＞0时，f（x）=（x-a）²-a²（2分）所以f（x）_min=-a²（2分）
只须-a²≤-1，即a≥1或a≤-（12分）
由于a＞0，所以a≥1时，方程f（x）=-1有解．（2分）

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查用待定系数法求函数解析式、奇偶性，求函数单调区间、定义域，解答的关键是利用单调性、奇偶性解不等式．