已知函数f（x）满足f(x)＝x3+f ′(23)x2−x+C（其中f ′(23)为f（x）在点x＝

解题思路：（1）先求出函数f（x）的导函数f'（x），然后将x＝

2

3

代入即可求出f'（[2/3]），从而求出f（x）的解析式，求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确单调区间；
（2）根据第一问可求出函数f（x）的极大值与极小值，方程f（x）=0有且只有两个不等的实数根，等价于[f（x）]_极大值=0或[f（x）]_极小值=0，即可求出常数C的值．

（1）由f(x)＝x3+f ′(
2
3)x2−x+C，得f ′(x)＝3x2+2f ′(
2
3)x−1．
取x＝
2
3，得f ′(
2
3)＝3×(
2
3)2+2f ′(
2
3)×(
2
3)−1，解之，得f ′(
2
3)＝−1，
∴f（x）=x³-x²-x+C．（2分）
从而f ′(x)＝3x2−2x−1＝3(x+
1
3)(x−1)，
列表如下：

∴f（x）的单调递增区间是(−∞ ， −
1
3)和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是(−
1
3 ， 1)．
（2）由（1）知，[f(x)]极大值＝f(−
1
3)＝(−
1
3)3−(−
1
3)2−(−
1
3)+C＝
5
27+C；
[f（x）]_极小值=f（1）=1³-1²-1+C=-1+C．
∴方程f（x）=0有且只有两个不等的实数根，等价于[f（x）]_极大值=0或[f（x）]_极小值=0．
∴常数C＝−
5
27或C=1．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查了函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，属于基础题．