已知函数f（x）满足f(x)＝x3+f ′(23)x2−x+C（其中f ′(23)为f（x）在点x＝
已知函数f（x）满足f(x)＝x3+f ′(
)x2−x+C（其中f ′(
)为f（x）在点x＝
处的导数，C为常数）．
（1）求f ′(
)的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
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（1）求f ′(
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（2）求函数f（x）的单调区间．
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解题思路：（1）由f(x)＝x3+f ′(
)x2−x+C，得f ′(x)＝3x2+2f ′(
)x−1．由此能求出f ′(
)的值．
（2）由f（x）=x3-x2-x+C．知f ′(x)＝3x2−2x−1＝3(x+
)(x−1)，列表讨论能求出f（x）的单调区间．
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（2）由f（x）=x3-x2-x+C．知f ′(x)＝3x2−2x−1＝3(x+
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（1）由f(x)＝x3+f ′(
2
3)x2−x+C，得f ′(x)＝3x2+2f ′(
2
3)x−1．
取x＝
2
3，得f ′(
2
3)＝3×(
2
3)2+2f ′(
2
3)×(
2
3)−1，
解之，得f ′(
2
3)＝−1，…（6分）
（2）因为f（x）=x3-x2-x+C．
从而f ′(x)＝3x2−2x−1＝3(x+
1
3)(x−1)，列表如下：
x (−∞，−
1
3) −
1
3 (−
1
3，1) 1 （1，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 有极大值 ↘ 有极小值 ↗∴f（x）的单调递增区间是(−∞ ， −
1
3)，（1，+∞）；
f（x）的单调递减区间是(−
1
3 ， 1)．…（12分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
考点点评： 本题考查函数的导数值的求法，考查函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
1年前
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