设函数f(x)=x²-2tx+2,其中t∈R.⑴若t=1,求函数f(x)在区间[0,4]上的取值范围

因为f（x）=x2-2tx+2=（x-t）2+2-t2,
所以f（x）在区间（-∞,t]上单调减,在区间[t,∞）上单调增,且对任意的x∈R,都有f（t+x）=f（t-x）,
（1）若t=1,则f（x）=（x-1）2+1．
①当x∈[0,1]时．f（x）单调减,从而最大值f（0）=2,最小值f（1）=1．
所以f（x）的取值范围为[1,2]；
②当x∈[1,4]时．f（x）单调增,从而最大值f（4）=10,最小值f（1）=1．
所以f（x）的取值范围为[1,10]；
所以f（x）在区间[0,4]上的取值范围为[1,10]． …（3分）
（2）“对任意的x∈[a,a+2],都有f（x）≤5”等价于“在区间[a,a+2]上,[f（x）]max≤5”．
①若t=1,则f（x）=（x-1）2+1,
所以f（x）在区间（-∞,1]上单调减,在区间[1,∞）上单调增．
②当1≤a+1,即a≥0时,
由[f（x）]max=f（a+2）=（a+1）2+1≤5,得-3≤a≤1,
从而 0≤a≤1．
③当1＞a+1,即a＜0时,由[f（x）]max=f（a）=（a-1）2+1≤5,得-1≤a≤3,
从而-1≤a＜0．
综上,a的取值范围为区间[-1,1]． …（6分）
（3）设函数f（x）在区间[0,4]上的最大值为M,最小值为m,
所以“对任意的x1,x2∈[0,4],都有|f（x1）-f（x2）|≤8”等价于“M-m≤8”．
①当t≤0时,M=f（4）=18-8t,m=f（0）=2．
由M-m=18-8t-2=16-8t≤8,得t≥1．
从而 t∈空集．
②当0＜t≤2时,M=f（4）=18-8t,m=f（t）=2-t2．
由M-m=18-8t-（2-t2）=t2-8t+16=（t-4）2≤8,得
4-2根号2≤t≤4+2根号2．
从而 4-2根号2≤t≤2．
③当2＜t≤4时,M=f（0）=2,m=f（t）=2-t2．
由M-m=2-（2-t2）=t2≤8,得-2根号2≤t≤2根号2．
从而 2＜t≤2根号2．
④当t＞4时,M=f（0）=2,m=f（4）=18-8t．
由M-m=2-（18-8t）=8t-16≤8,得t≤3．
从而 t∈空集．
综上,t的取值范围为区间[4-2根号2,2根号2]． …（10分）