椭圆方程为x^2/4+y^2/2=1,椭圆左右顶点为AB,TA垂直与TB且交椭圆于MN,是否存在点T使得MN的中点横坐标

椭圆方程为x^2/4+y^2/2=1,椭圆左右顶点为AB,TA垂直与TB且交椭圆于MN,是否存在点T使得MN的中点横坐标为3/5?
【解】先求A、B两点的坐标,A（2,0）B（-2,0）
再求AN,BM的直线方程,设AN的斜率为k,由TA垂直TB可知,BM的斜率为-1/k
所以：AN方程为：y=k(x-2)；BM方程为：y=(-1/k)(x-2)
分别将两个直线方程代入椭圆方程中,由于本题讨论横坐标,所以消去y
化简后分别为：（1+2k^2)x^2-8k^2x+8k^2-4=0（直线AN和椭圆的交点方程）
(1+k^2)x^2+8x+8-4k^2=0（直线BM和椭圆的交点方程）
其实M、N点的横坐标就在这两个方程的解中
韦达定理：2+x[N]=8K^2/（1+2k^2)
-2+x[M]=-8/(1+k^2)（因为2和-2是直线与椭圆的交点,所以是方程的一个根）
化简求出M、N的横坐标
x[N]=（4K^2-2）/（1+2k^2)
M、N中点的横坐标为：（x[N]+x[M]）/2=3/5
这是一个关于K的高次方程,如果方程有解,说明存在这样的点T,否则不存在.
换元：令t=k^2,上述方程去分母并化简,可得：18t^2-93t-46=0
显然此方程有两个实数解,且有一个正根（那个负根要舍去,因为t=k^2>0)
满足条件的K有两个,所以存在两个T点使得MN的中点横坐标为3/5（好在不要求出T点）
【OK】