已知a1a2a3同号,(a1+a2)/a3+(a2+a3)/a1+(a3+a1)/a2的最小值是

(a1+a2)/a3+(a2+a3)/a1+(a3+a1)/a2
=(a1/a2+a2/a1)+(a2/a3+a3/a2)+(a3/a1+a1/a3)
a1,a2,a3同号,则a1/a2,a2/a1,a1/a3,a3/a1,a2/a3,a3/a2均>0
由均值不等式得
a1/a2+a2/a1≥2,当且仅当a1=a2时取等号
a2/a3+a3/a2≥2 当且仅当a2=a3时取等号
a3/a1+a1/a3≥2 当且仅当a1=a3时取等号
以上三不等式当且仅当a1=a2=a3时同时取等号.
(a1+a2)/a3+(a2+a3)/a1+(a3+a1)/a2≥2+2+2
(a1+a2)/a3+(a2+a3)/a1+(a3+a1)/a2≥6
(a1+a2)/a3+(a2+a3)/a1+(a3+a1)/a2的最小值是6.

(a1+a2)/a3+(a2+a3)/a1+(a3+a1)/a2
=(a1+a2+a3)/a3+(a1+a2+a3)/a1+(a1+a2+a3)/a2-3
因为代数平均不小于调和平均，所以
((a1+a2+a3)/a3+(a1+a2+a3)/a1+(a1+a2+a3)/a2)/3
>=3/(a3/(a1+a2+a3)+a1/(a1+a2+a3)+a2/(a1+a2+...