如图 圆O半径为1 点P是圆O上一点 弦AB垂直平分线段OP 点D是弧APB上任一点 DE垂直AB于E 以点D为圆心 D

1. 设AB与OP相交于G,分别连接AP、AO、BO.
因AB垂直平分线段OP,故AP=AO=PO,则APO为等边三角形,∠AOP=60°,∠AOB=120°.则AB=2AG=2·√3/2AO=√3.
2. 分别连接AD、BD,知∠CAB=2∠DAB、∠ABC=2∠ABD.
而∠DAB+∠ABD=1/2弧ADB=1/2×120°=60°,
则∠CAB+∠ABC=2（∠DAB+∠ABD）=120°,
得：∠ACB=180°-(∠CAB+∠ABC)=60°.
3. 设AC与圆D的切点为M、BC与圆D的切点为N.分别连接DM、DN.
设圆D的半径为R,则MC=√3DM=√3R.
则S=2S△ADE+2S△BDE+2S△MCD=2S△ADB+2S△MCD=AB·DE+MC·DM=√3R+√3R².
又已知S/R²=4√3,
解得：R=1/3, S=(4√3)/9.
终得：三角形ABC周长=2S/R=(8√3)/3 .