已知函数f（x）=[ax+bx2+1（a＞0）

解题思路：（Ⅰ）利用极值的定义证明即可；
（Ⅱ）利用韦达定理，结合f（α）=-1，f（β）=1，求a、b的值；
（Ⅲ）原问题可化为m≤

ex+e−x−2

x2

对一切x∈（-∞，0）∪（　　），+∞）恒成立，构造函数，研究函数的值域，即可求实数m的取值范围．

（Ⅰ）证明：f′（x）=-
ax2+2bx−a
(x2+1)2
令f′（x）=ax²+2bx-a=0 …（2分）
△＞0，∴f′（x）=0有两实根不妨记为α，β
x（-∞，α）α（α，β）β（β，+∞）/f′（x）-0+0-
f（x）极小极大∴f（x）有两个极值点，一个极大值点一个极小值点…（4分）
（Ⅱ）ax²+2bx-a=0，由韦达定理得α+β=-
2b
a]
∵f（α）=-1，f（β）=1，
∴α²+αα+b+1=0，β²-αβ-b+1=0．
∴（α+β）（α-β）=0…（6分）
∴α+β=0，
∴b=0，α=-1，β=1，∴a=2…（7分）
（Ⅲ）∵g（x）=f（e^x），
∴m≥0…（8分）
当x=0时，不等式恒成立
∴原问题可化为m≤
ex+e−x−2
x2对一切x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立
设u（x）=
ex+e−x−2
x2，则u′（x）=
(ex−e−x)−2(ex+e−x−2)
x3
设h（x）=（e^x-e^-x）x-2（e^x+e^-x-2），
∴h′（x）=（e^x+e^-x）x-（e^x-e^-x），h″（x）=（e^x-e^-x）x，
当x＞0时，e^x＞e^-x，∴h″（x）＞0，当x＜0时，e^x＜e^-x，∴h″（x）＞0，
∴h′（x）在R上单调递增，
又∵h′（0）=0
∴当x＞0时，h′（0）＞0，当x＜0时，h′（0）＜0
∴h（x）在（-∞，0）上递减，（0，+∞）递增，
∴h（x）＞h（0）=0 …（10分）
∴当x＞0时，u′（x）＞0，当x＜0时，u′（x）＜0，
∴u（x）在（-∞，0）上递减，（0，+∞）递增，
∴x→0，u（x）→1
∴0≤m≤1．…（12分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，正确构造函数的关键．