天蝎小女人 花朵
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(1)f'(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f'(1)=f'(-1)=0,
即
3a+2b-3=0
3a-2b-3=0,解得a=1,b=0.
∴f(x)=x3-3x.(4分)
(2)f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
∵曲线方程为y=x3-3x,
∴点A(1,m)不在曲线上.
设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足y0=x03-3x0.
∵f'(x0)=3(x02-1),
∴切线的斜率为3(
x20-1)=
x30-3x0-m
x0-1,
整理得2x03-3x02+m+3=0.(8分)
∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线,
∴关于x0方程2x03-3x02+m+3=0有三个实根.
设g(x0)=2x03-3x02+m+3,
则g'(x0)=6x02-6x0,
由g'(x0)=0,得x0=0或x0=1.(12分)
∴函数g(x0)=2x03-3x02+m+3的极值点为x0=0,x0=1.
∴关于x0方程2x03-3x02+m+3=0有三个实根的充要条件是g(1)g(0)<0,
即(m+3)(m+2)<0,解得-3<m<-2.
故所求的实数a的取值范围是-3<m<-2.
点评:
本题考点: A:利用导数研究函数的极值 B:导数的几何意义 C:导数的运算
考点点评: 本题考查了导数的几何意义,利用导数求函数的极值和最值等知识,难度较大.
1年前
你能帮帮他们吗