底面ABCD为矩形的四棱锥P-ABCD中， AB= 3 ，BC=1，PA=2，侧棱PA⊥底面ABCD，E为PD的中点

（1）以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图所示
可得 B(
3 ，0，0) 、 C(
3 ，1，0) 、 D（0，1，0）、
P（0，0，2）、 E(0，
1
2 ，1) ，
从而

AC =(
3 ，1，0)，

PB =(
3 ，0，-2) ．
设

AC 与

PB 的夹角为θ，则
cosθ=


AC •

PB
|

AC |•|

PB | =
3
2
7 =
3
7
14 ，
∴AC与PB所成角的余弦值为
3
7
14
（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），
则

NE =(-x，
1
2 ，1-z) ，
由NE⊥面PAC可得，



NE •

AP =0


NE •

AC =0 ，即

(-x，
1
2 ，1-z)•(0，0，2)=0
(-x，
1
2 ，1-z)•(
3 ，1，0)=0
化简得

z-1=0
-
3 x+
1
2 =0 ，即

x=

3
6
z=1 ，可得N点的坐标为 (

3
6 ，0，1) ，
从而侧面PAB内存在点N，使NE⊥面PAC，N点到AB和AP的距离分别为 1，

3
6 ．