清风剑舞 幼苗
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p |
2 |
x12 |
4 |
x22 |
4 |
1+k2 |
1 |
k |
4 |
k |
1 |
k2 |
(1)∵抛物线E的顶点在原点,焦点F在y轴正半轴上,
抛物线上一点P(m,4)到其准线的距离为5,
∴根据抛物线定义得4+
p
2=5,
解得p=2,
∴抛物线方程x2=4y.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
|AC|=|AF|-|CF|=|AF|-1|BD|=|BF|-|DF|=|BF|-1,
由抛物线定义得:|AF|=y1+1|BF|=y2+1,
∴|AC|•|BD|=y1y2,
设直线AB方程:y=kx+1,
与抛物线方程联立得:x2-4kx-4=0,
∴x1+x2=4k,x1x2=-4,
∴|AC|•|BD|=y1y2=
x12
4•
x22
4=1为定值.
(3)设直线AB方程:y=kx+1,
与抛物线方程联立得:x2-4kx-4=0,
∴x1+x2=4k,x1x2=-4,
由弦长公式|AB|=
1+k2|x1−x2|=4(1+k2),
同理直线MN方程:y=−
1
kx+1,
与抛物线方程联立得:x2+
4
kx−4=0,
由弦长公式得|MN|=4(1+
1
k2),
所以四边形AMBN的面积S=
1
2|AB||MN|=8(1+k2)(1+
1
k2)
=8(2+k2+
1
k2)≥32,
当k=±1时,取“=”.
故四边形AMBN面积最小值为32.
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程.
考点点评: 本题考查抛物线方程的求法,探究|AC|•|BD|是否为定值,考查四边形面积最小值的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
1年前
已知直线l过原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上,
1年前1个回答
已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴,且过点(2,4).
1年前1个回答
1年前1个回答
你能帮帮他们吗