数列{an}中，a1=1，且1an+1+1an=2n+1，（n∈N*）．

解题思路：（Ⅰ）由题意可得，由a₁的值，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．
（Ⅱ）猜想an＝

1

n2

，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

（Ⅰ）a₁=1，且
1

an+1+
1

an=2n+1，
∴
1

an+1＝−
1

an+2n+1，
∴
1

a2＝−
1

a1+2×1+1
∴a2＝
1
4，a3＝
1
9，a4＝
1
16…（2分）
（Ⅱ）猜想an＝
1
n2，（n∈N^*）…（2分）
证明：①当n=1时，左边=a₁，右边=
1
12＝1，猜测成立；
②假设当n=k（k∈N^*）时有ak＝
1
k2成立
则当n=k+1时，
1

ak+1＝−
1

ak+2k+1=-k+2k+1=k+1，∴ak+1＝
1
(k+1)2．故猜测也成立．
由①②可得对一切n∈N^*，数列{a_n}的通项公式为an＝
1
n2（n∈N^*）…（4分）

点评：
本题考点： 数学归纳法；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．