已知,圆O内切于三角形ABC,D,E,F为切点,经过点E作BC的平行线交AF于点G,交FD于点M.求证EG=GM

证明：连接DN
∵EM‖BF
∴∠GFB=∠MGF
又∵∠GFB=∠NDF~根据弦切角等于它所夹弧所对的圆周角
∴∠MGF=∠NDF
∴△FGM～△FDN
∴GM / GF=ND / DF ①
又∵∠ADN=∠AFD~根据弦切角等于它所夹弧所对的圆周角
∴△ADN～△AFD
∴ND / DF=AD / AF ②
即GM*AF=GF*AD ③
又∵EM‖BF
∴△AEG～△ABF
∴EG / BF= AG / AF
即EG*AF=BF*AG ④
∵圆O内切于三角形ABC,D、E、F为切点
∴AD=AE,BF=BE
又∵△AEG～△ABF
∴AE / BE= AG / GF
即AD /BF= AG / GF
∴GF*AD=BF*AG ⑤
由③④⑤可得
GM*AF=EG*AF
∴GM=EG