已知如图ABCD是对角线互相垂直的圆内接四边形,通过对角线的交点E与AB垂直于点H的直线交CD于点M.求证 &
已知如图ABCD是对角线互相垂直的圆内接四边形,通过对角线的交点E与AB垂直于点H的直线交CD于点M.求证CM=MD
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∵AC⊥BD,EH⊥AB
∴△CDE、△AEH是直角三角形
∵∠BAC=∠BDC
即∠HAE=∠EDC
∴Rt△AEH∽Rt△CDE
∴∠AEH=∠DCE
∵∠AEH=∠MEC(对顶角）
∴∠MEC=∠DCE
∴EM=CM
在Rt△CDE中
∵∠DCE+∠CDE=90°
即∠DCE+∠MDE=90° ,∠MEC+∠DEM=90°
∴∠MDE=∠DEM
∴EM=MD
∴CM=MD
∴△CDE、△AEH是直角三角形
∵∠BAC=∠BDC
即∠HAE=∠EDC
∴Rt△AEH∽Rt△CDE
∴∠AEH=∠DCE
∵∠AEH=∠MEC(对顶角）
∴∠MEC=∠DCE
∴EM=CM
在Rt△CDE中
∵∠DCE+∠CDE=90°
即∠DCE+∠MDE=90° ,∠MEC+∠DEM=90°
∴∠MDE=∠DEM
∴EM=MD
∴CM=MD
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