（2011•北京模拟）求满足x=∫x0f（t）dt+∫x0tf（t-x）dt的可微函数f（x）．

在
∫x0tf(t−x)dt中，令u=t-x，则有

∫x0tf(t−x)dt=
∫0−x(u+x)f(u)du=−
∫−x0uf(u)du−x
∫−x0f(u)du
∴x＝
∫x0f(t)dt−
∫−x0uf(u)du−x
∫−x0f(u)du
两边对x求导，整理得
f(x)＝1+
∫−x0f(u)du
两边对x求导，得f'（x）=-f（-x），
∴f''（x）=f'（-x）=-f（x），
解得：f（x）=C₁cosx+C₂sinx，
∴f'（x）=-C₁sinx+C₂cosx
由于f（0）=1，f'（0）=-1，
∴C₁=1，C₂=-1
∴f（x）=cosx-sinx

点评：
本题考点： 可微的充要条件．

考点点评： 此题考查了变限积分函数的导数以及微分方程的求解，都是基础知识点．