（2011•北京模拟）设f（x）在区间[0，1]上连续，试证明存在ξ∈（0，1），使∫ξ0f（t）dt=（1-ξ）f（ξ

证明：令φ(x)＝
∫x0f(t)dt−x
∫x0f(t)dt，则有
φ（0）=φ（1）=0，
故φ（x）在[0，1]上满足罗尔定理，
从而可知，存在ξ∈（0，1）使得φ′（ξ）=0，
即：f(ξ)−
∫ξ0f(t)dt−ξf(ξ)＝0
从而
∫ξ0f(t)dt＝(1−ξ)f(ξ)．
为证明ξ的唯一性，用反证法．
设存在ξ₁＜ξ₂，ξ₁，ξ₂∈（0，1）使得

∫ξ10f(t)dt＝(1−ξ1)f(ξ1)，①

∫ξ20f(t)dt＝(1−ξ2)f(ξ2)．②
两式相减，①-②可得：

∫ξ2ξ1f(t)dt＝(1−ξ2)f(ξ2)−f(ξ1)−(ξ2−ξ1)f(ξ1)．
由已知条件知左边为正，右边为负，矛盾，
所以结论成立．

点评：
本题考点： 用罗尔定理判断导函数根的存在问题．

考点点评： 本题主要考查了利用罗尔中值定理证明等式的方法，是一个基础型题目，难度系数不大．罗尔中值定理是常考知识点，需要熟练掌握．