（2011•北京模拟）设f（x）=

解题思路：求函数极限、连续性及可导性时，首先判断函数是否为初等函数；
若其中有本题中g（x）形式的抽象函数时，一般使用定义法；
对于分段函数，需要分别求左、右极限或左、右导数．

①f′(0+0)＝
lim
x→0+
f(x)−f(0)
x=
lim
x→0+

1−cosx

x−0
x=
lim
x→0+
1−cosx
x
3
2=
lim
x→0+

1
2x2
x
3
2=
1
2
lim
x→0+x
1
2=0；
f′(0−0)＝
lim
x→0−
f(x)−f(0)
x=
lim
x→0−
x2g(x)−0
x=
lim
x→0−xg(x)=0．
即f（x）在x=0处左、右导数存在且相等，因此，f（x）在x=0处可导，故选项C错误，选项D正确；
②
lim
x→0+f(x)＝
lim
x→0+
1−cosx

x=
lim
x→0+

1
2x2

x＝
1
2
lim
x→0+x
3
2=0；

lim
x→0−f(x)=
lim
x→0−x2g(x)＝0，函数左、右极限存在且相等，则函数f（x）在x=0处极限存在，故选项A错误；

lim
x→0+f(x)＝
lim
x→0−f(x)＝f(0)＝0，则函数f（x）在x=0处连续，故选项B错误；
故选：D．

点评：
本题考点： 函数极限存在性的判别和证明综合．

考点点评： 本题考查函数极限存在性及函数可导的定义．