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zhutou333 幼苗
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(1)由已知,h'(x)=2ax+b,
其图象为直线,且过(0,-8),(4,0)两点,把两点坐标代入h'(x)=2ax+b
∴
2a=2
b=−8⇒
a=1
b=−8⇒h(x)=x2−8x+c,h'(x)=2x-8,
∴f(x)=6lnx+x2-8x+c
∴f′(x)=
6
x+2x−8
∴f'(3)=0,所以函数f(x)在点(3,f(3))处的切线斜率为0;
(2)f′(x)=
6
x+2x−8=
2(x−1)(x−3)
x∵x>0
∴f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+∞)∴f(x)的单调递减区间为(1,3)
要使函数f(x)在区间(1,m+
1
2)上是单调函数,
则
1<m+
1
2
m+
1
2≤3,解得[1/2<m≤
5
2]
(3)由题意,-x≥f(x)在x∈(0,6]恒成立,得-x≥6lnx+x2-8x+c在x∈(0,6]恒成立,即c≤-x2-6lnx+7x在x∈(0,6]恒成立,
设g(x)=-x2-6lnx+7x,x∈(0,6],则c≤g(x)min
g′(x)=−2x−
6
x+7=
−2x2+7x−6
x=
−(2x−3)(x−2)
x
因为x>0,∴当x∈(
3
2,2)时,∴g'(x)>0,g(x)为增函数
当x∈(0,
3
2)和(2,+∞)时,∴g'(x)<0,g(x)为减函数
∴g(x)的最小值为g(
3
2)和g(6)的较小者.
g(
3
2)=−
9
4−6ln
3
2+7×
3
2=
33
4−6ln
3
2,
g(6)=-36-6ln6+42=6-6ln6,
g(
3
2)−g(6)=
9
4−6ln
3
2+6ln6=
9
4+12ln2>0,
∴g(x)min=g(6)=6-6ln6.
又已知c<3,
∴c≤6-6ln6
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值.掌握不等式恒成立时所取的条件.
1年前
1年前1个回答
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