lvkangxin 春芽
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2a |
3 |
(1)∵f(x)=-x3+ax2+bx+c,
∴f'(x)=-3x2+2ax+b.
∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,
∴当x=0时,f(x)取到极小值,即f'(0)=0.∴b=0.
(2)由(1)知,f(x)=-x3+ax2+c,
∵1是函数f(x)的一个零点,即f(1)=0,∴c=1-a.
∵f'(x)=-3x2+2ax=0的两个根分别为x1=0,x2=
2a
3.
∵f(x)在(0,1)上是增函数,且函数f(x)在R上有三个零点,
∴x2=
2a
3>1,即a>
3
2.
∴f(2)=−8+4a+(1−a)=3a−7>−
5
2.
(3)由(2)知f(x)=-x3+ax2+1-a,且a>
3
2.
要讨论直线y=x-1与函数y=f(x)图象的交点个数情况,
即求方程组
y=x−1
y=−x3+ax2+1−a
解的个数情况:由-x3+ax2+1-a=x-1,得(x3-1)-a(x2-1)+(x-1)=0.
即(x-1)(x2+x+1)-a(x-1)(x+1)+(x-1)=0.
即(x-1)[x2+(1-a)x+(2-a)]=0.∴x=1或x2+(1-a)x+(2-a)=0.
由方程x2+(1-a)x+(2-a)=0,(*)
得△=(1-a)2-4(2-a)=a2+2a-7.∵a>
3
2,
若△<0,即a2+2a-7<0,解得
3
2<a<2
2−1.此时方程(*)无实数解.
若△=0,即a2+2a-7=0,解得a=2
2−1.此时方程(*)有一个实数解x=
点评:
本题考点: 函数与方程的综合运用;函数的零点;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 此题考查利用导数求函数的最值的方法确定函数解析式,函数与方程的综合应用.培养学生解数学决问题的能力.
1年前
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已知函数f(x)=13x3+ax2+bx,且f′(-1)=0
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你能帮帮他们吗