在三棱锥P-ABC中PA⊥底面ABC∠ACB=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F若PA=PB=2∠PBC=θ则当ΔA

PA⊥底面ABC,∠ACB=90° =>PA⊥AC PA⊥AB => PC^2=PA^2+AC^2 PB^2=4+4=8
AE⊥PB PA=AB=2 =>AE=PA*AB/PB=√2
PA⊥底面ABC =>BC⊥PA BC⊥AC =>BC⊥平面PAC =>AF⊥BC AF⊥PC =>AF⊥平面PCB =>AF⊥EF
ΔAEF的面积=AF*EF/2=AF*√(2-AF^2)/2 0AC/PC = 1/2 且 AC^2+PA^2=PC^2 且 PA=2 =>PC=4/√3 AC=2/√3
AC^2+BC^2=AB^2 AC=AC=2/√3 =>BC=√8/√3
=> tanθ=PC/BC=4/√8=√2
为所求

• 证明AF⊥EF 过程如下 ：

AC⊥BC

→ AF⊥BC

AP⊥BC → AF⊥EF

AF⊥PC

• 设∠APC=α

则

PF=2cosα ①

→ |EF| = √[﹙√2²﹚－﹙ 2sinα﹚²] =√﹙2﹣4sin²α﹚③ → SΔAFE = |EF| |AF| × 0.5 ④

AF=2sinα ②

AE=√2

• 设 4sin²α=t ⑤

②③④⑤→ |SΔAFE|² =（2-t）t

当t=1 SΔAFE 最大 此时 sinα=0.5 ⑥

• 由题

PE=√2

①⑥→ PF=√3

③⑥→ EF=1

tan∠BPC=EF/PE=√2/2

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