（2012•资阳）已知a、b是正实数，那么，a+b2≥ab是恒成立的．

（1）∵（
a-
b）²≥0，
∴a-2
ab+b≥0，…（1分）
∴a+b≥2
ab，…（2分）
∴[a+b/2]≥
ab；…（3分）

（2）
3abc
…（6分）
理由：a³+b³+c³-3abc
=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ac）
=[1/2]（a+b+c）（2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac）
=[1/2]（a+b+c）[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]
∵a、b、c是正实数，
∴a³+b³+c³-3abc≥0，
∴a³+b³+c³≥3abc，
同理：[a+b+c/3≥
3abc
]也恒成立；
故答案为：
3abc
；

（3）如图，连接OP，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
又∵PC⊥AB，
∴∠ACP=∠APB=90°，
∴∠A+∠B=∠A+∠APC=90°，
∴∠APC=∠B，
∴Rt△APC∽Rt△PBC，
∴[PC/AC＝
CB
PC]，
∴PC²=AC•CB=ab，
∴PC=
ab，…（7分）
又∵PO=[a+b/2]，
∵PO≥PC，
∴
a+b
2≥
ab．…（8分）

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；完全平方公式；一元一次不等式的应用；圆周角定理．

考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、几何不等式的应用与证明以及完全平方公式等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意完全平方式的非负性的应用．

1年前

回答问题