如图，在四棱锥 P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2，AD=1，E

（Ⅰ）证明：因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为2和1的矩形，
侧棱PA⊥平面ABCD，且PA=2
所以BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB．∴BC⊥AE．
又在△PAB中，∵PA=PB，E是PB的中点，
∴AE⊥PB．又BC∩PB=B，
∴AE⊥平面PBC，又PF⊂面PBC．
∴AE⊥PF．
（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则P（0，0，2），B（2，0，0），E（1，0，1），C（2，1，0），0（1，[1/2]，0）．
∴

AE＝(1，0，1)

AC＝(2，1，0)．
设

n＝(x，y，z)，是平面EAC的一个法向量，则由



n•

AE＝0


n•

AC＝0
得

(x，y，z)•(1，0，1)＝0
(x，y，z)•(2，1，0)＝0即

x+z＝0
2x+y＝0
取x=1得

n＝(1，−2，−1)．
而

OB＝(1，−
1
2，0)，∴cos＜

n，

OB＞＝


n •

OB
|

n|

OB＝

230

15．
设直线BO与平面AEC所成角为α，则sinα=

230

15．
∴直线BO与平面AEC所成角的正弦值为

230

15．

点评：
本题考点： 用空间向量求直线间的夹角、距离；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角．

考点点评： 本题考查了利用线面垂直证明线线垂直这样的转换证明的方法；利用空间向量的方法求解线面角的知识．考查空间想象能力，计算能力．