已知数列{an}中，a1＝23，a2＝89，且当n≥2，n∈N时，3an+1=4an-an-1．

解题思路：（1）将已知的递推关系变形，利用等比数列的定义，证得数列{a_n+1-a_n}成等比数列．利用等比数列的通项公式求出a_n+1-a_n=[2/9]（ [1/3]）^n-1，利用累加可求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）利用记

n

i＝1

ai=a₁•a₂•a₃…a_n，n∈N，直接求和，（1）然后利用和值求出数列的极限即可．
（2）利用数学归纳法证明，当n=1时，显然成立；假设n=k时，结论成立，再证明n=k+1 时，结论成立即可．

（Ⅰ）由题意，当n≥2，3a_n+1=4a_n-a_n-1⇒3a_n+1-3a_n=a_n-a_n-1
所以 an+1−an＝
1
3(an−an−1)，
所以 {an+1−an}是以a2−a1＝
2
9为首项，[1/3]为公比的等比数列．
得 an+1−an＝
2
9(
1
3)n−1，an−an−1＝
2
9(
1
3)n−2…a2−a1＝
2
9(
1
3)0
累加得 an−a1＝1−(
1
3)n，得 an＝1−(
1
3)n
（Ⅱ）（1）因为an＝1−(
1
3)n，所以
n

i＝1ai=a₁•a₂•a₃…a_n=(1−
1
3)(1−
1
9)(1−
1
27)…[1−(
1
3)n]=[2/3•
8
9•
26
27…
(3n−1)
3n]
当n→+∞时，an＝1−(
1
3)n→1，∴极限

点评：
本题考点： 数列的极限．

考点点评： 本题考查证明数列是等比数列常用数列的方法：是定义法与等比中项的方法；注意构造新数列是求数列的通项的常用的方法．