设函数f(x)=ax^3+bx^2-3a^x+1(a,b属于R）在X=X1,X=X2处取得极值,且|X1-X2|=2

设函数f(x)=ax^3+bx^2-3ax+1(a,b属于R）在X=X1,X=X2处取得极值,且|X1-X2|=2
（1）若a=1,求b的值,并求f(x)的单调区间
（2）若a>0,求b的取值范围
f′(x)=3ax²+2bx-3a
(1) a=1时,令f′(x)=3x²+2bx-3=0,
︱x₁-x₂︱=√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√[(-2b/3)²+4]=2,故得b=0
于是f′(x)=3x²-3=3(x²-1)=3(x+1)(x-1),
因此可知：在区间(-∞,-1)∪(1,+∞)内单调增；在区间(-1,1)内单调减.
(2)若a>0,则f′(x)=3ax²+2bx-3a,︱x₁-x₂︱=√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√[(-2b/3a)²+4]=2
(4b²/3a²)+4=4,仍得b=0.
[题目中的-3a^x是不是3ax之误?如果确是-3a^x,那么第2问的解法极其结果会大不一样!]