在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立．

解题思路：（Ⅰ）由已知条件及同角三角函数的基本关系得cosC＞0，且2cos²C+3cosC-2≥0，由此解得cosC的值．
（Ⅱ）根据角C的范围可得当∠C取最大值时 ∠C＝

π

3

，由余弦定理和基本不等式求得ab≤4，从而得到△ABC面积的最大值，根据不等式中等号成立条件判断△ABC的形状．

（Ⅰ）由已知得：

cosC＞0
(4sinC)2−24cosC≤0⇒2cos2C+3cosC−2≥0，
∴cosC≥
1
2，或cosC≤-2（{舍去}）．∴[1/2≤cosC＜1．
（Ⅱ）∵0＜C＜π，cosC≥
1
2]，∴当∠C取最大值时，∠C＝
π
3．
由余弦定理得：2²=a²+b²-2ab•cos[π/3]⇒4=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，
∴S△ABC＝
1
2ab•sin
π
3＝

3
4ab≤
3，当且仅当a=b时取等号，此时(S△ABC)max＝
3，
由a＝b，∠C＝
π
3可得△ABC为等边三角形．

点评：
本题考点： 三角形的形状判断；同角三角函数基本关系的运用；余弦定理．

考点点评： 本题考查同角三角函数的基本关系的应用，一元二次不等式的解法，余弦定理、基本不等式的得应用，求出角C的最大值是解题的关键，属于中档题．