（2010•成都一模）把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵

（1）当n=1时，a₁=S₁=3，
n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝(n2+2n)−{(n−1)2+2(n−1)}＝2n+1
经验证，当n=1时，上式也适合，故a_n=2n+1．
设{b_n}公比为q，则
ba2
ba1＝
b5
b3＝q2＝64，
因为{b_n}各项为正数所以q=8，∴bn＝8n−1，
故数列{a_n}与{b_n}的通项公式分别为：a_n=2n+1，bn＝8n−1
（2）由题意可知[1
Sn＝
1
n2+2n＝
1/2(
1
n−
1
n+2)
∴
1
S1]+[1
S2+…
1
Sn＝
1/2(1−
1
3+
1
2−
1
4+
1
3−
1
5+…+
1
n−
1
n+2)
=
1
2(1+
1
2−
1
n+1−
1
n+2)＝
3
4−
1
2(
1
n+1+
1
n+2)＜
3
4]
故原不等式得证．

点评：
本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题为数列的综合应用，涉及通项公式和裂项相消法求和，以及不等式的证明，属中档题．

1年前

回答问题