已知f（x）连续，∫x0tf(x−t)dt＝1−cosx，求∫π20f(x)dx的值．

解题思路：由已知条件

∫

x 0

tf(x−t)dt＝1−cosx，要求

∫

π 2 0

f(x)dx的值，往往是要求出被积函数f（x）的表达式．而要求出被积函数的表达式，需要

∫

x 0

tf(x−t)dt＝1−cosx两边对x求导，但由于被积函数里有f（x-t），因此必需先换元．

解； 令u=x-t，则当t=0时，u=x；t=x时，u=0；且du=-dt
因此

∫x0tf(x−t)dt＝−
∫0x(x−u)f(u)du＝
∫x0(x−u)f(u)du
=x
∫x0f(u)du−
∫x0uf(u)du＝1−cosx
∴x
∫x0f(u)du−
∫x0uf(u)du＝1−cosx两端对x求导得：

∫x0f(u)du+xf(x)−xf(x)＝sinx
即：
∫x0f(u)du＝sinx
在上式中，令x＝
π
2，便得

∫
π
20f(x)dx=sin
π
2＝1

点评：
本题考点： 积分上限函数及其求导．

考点点评： 此题在求解到最后发现，并不一定要把f（x）的表达式求出来，只需在求出f（x）的变上限积分中令积分上限x=[π/2]就可以得出结果．所以，在做题过程中，要依据所碰到的具体问题，找到最简单的求解方法．