设f（x）在（-∞，0]上连续，且满足∫x0tf（t2-x2）dt=x21+x2-[1/2]ln（1+x2），求f（x）

解令u=t²-x²，du=2tdt，
∫x0tf(t2−x2)dt＝
1
2
∫0−x2f(u)du，
故[1/2
∫0−x2f(u)du＝
x2
1+x2−
1
2ln(1+x2)，
再令t=-x²，
1
2
∫0tf(u)du＝
−t
1−t−
1
2ln(1−t)
即
∫t0f(u)du＝
−2t
1−t−ln(1−t)，
对t求导，得f(t)＝
2
(1−t)2−
1
1−t＝
1+t
(1−t)2(t＜0)，
故f(x)＝
1+x
(1−x)2(x＜0)f′(x)＝
3+x
(1−x)3＝0⇒x＝−3，
当x＜-3时，f'（x）＜0，当-3＜x＜0时，f'（x）＞0，
所以x=-3，f（x）取得极小值f(−3)＝−
1
8]．

点评：
本题考点： 求函数的极值点．

考点点评： 本题重点在于对含参变量x的变上限积分求导的处理，需要注意其中变量代换的技巧．