（2012•泰安一模）已知椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）与抛物线y2=4x有共同的焦点F，且两曲线在第一象限的

解题思路：（I）由题意焦点F（1，0），由|MF|＝

5

3

，且点M在抛物线上可求xM＝

5

3

−1＝

2

3

代入可求M的纵坐标，然后由M在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

＝1，及已知c，可求a，b，进而可求椭圆的方程
（II）①当直线l的斜率不存在时，l的方程x=0，容易检验直线l的方程不存在
②当斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线于椭圆方程，根据方程的根与系数关系可求x₁x₂，代入

PA

•

PB

=x1x2+k2x1x2可求k

（I）由题意可知抛物线y²=4x的焦点F（1，0）
∵|MF|＝
5
3，且点M在抛物线上
∴xM＝
5
3−1＝
2
3（2分）
∴yM2＝4xM＝
8
3
∵M在椭圆
x2
a2+
y2
b2＝1
∴


4
9a2+
8
3b2＝1
c＝1
a2＝b2+c2（3分）
∴a²=4，b²=3
椭圆的方程为
x2
4+
y2
3＝1（5分）
（II）①当直线l的斜率不存在时，l的方程x=0
∴A(0，
3)，B(0，−
3)
∴

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的共同特征．

考点点评： 本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于圆锥曲线的综合性试题