（2008•湖南）数列{an}满足a1=0，a2=2，an+2＝(1+cos2nπ2)an+4sin2nπ2，n＝1，2

解题思路：（Ⅰ）由题意知a3＝(1+cos2

π

2

)a1+4sin2

π

2

＝a1+4＝4，a₄=（1+cos²π）a₂+4sin²π=2a₂=4，一般地，当n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1-a_2k-1=4．因此a_2k-1=4（k-1）．当n=2k（k∈N^*）时，a_2k=2^k．由此可知数列{a_n}的通项公式为an＝

2(n−1)，n＝2k−1(k∈N*) 2 n 2 ，n＝2k(k∈N*)

．
（Ⅱ）由题设知，S_k=a₁+a₃+…+a_2k-1=0+4+…+4（k-1）=2k（k-1），T_k=a₂+a₄+…+a_2k=2+2²+2^k=2^k+1-2，Wk＝

2Sk

2+Tk

＝

k(k−1)

2k−1

．
由此可知当k≥6时，W_k+1＜W_k．满足W_k＞1的所有k的值为3，4，5．

（Ⅰ）因为a₁=0，a₂=2，所以a3＝(1+cos2
π
2)a1+4sin2
π
2＝a1+4＝4，a₄=（1+cos²π）a₂+4sin²π=2a₂=4，一般地，当n=2k-1（k∈N^*）时，a2k+1＝[1+cos2
(2k−1)π
2]a2k−1+4sin2
2k−1
2π＝a2k−1+4，
即a_2k+1-a_2k-1=4．所以数列{a_2k-1}是首项为0、公差为4的等差数列，
因此a_2k-1=4（k-1）．
当n=2k（k∈N^*）时，a2k+2＝[1+cos2
2kπ
2]a2k+4sin2
2k
2π＝2a2k，
所以数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a_2k=2^k．
故数列{a_n}的通项公式为an＝

2(n−1)，n＝2k−1(k∈N*)
2
n
2，n＝2k(k∈N*)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，S_k=a₁+a₃+…+a_2k-1=0+4+…+4（k-1）=2k（k-1），T_k=a₂+a₄+…+a_2k=2+2²+2^k=2^k+1-2，Wk＝
2Sk
2+Tk＝
k(k−1)
2k−1．
于是W₁=0，W₂=1，W3＝
3
2，W4＝
3
2，W5＝
5
4，W6＝

点评：
本题考点： 数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．