已知数列{an}满足a1=1，a2=a＞0，数列{bn}满足bn=an•an+1

解题思路：（1）分a=1和a≠1求出等比数列{a_n}的通项公式，进一步求得{b_n}是等比数列，则其前n项和s_n可求；
（2）把b_n=3ⁿ代入b_n=a_n•a_n+1，然后分n为奇数和偶数得到数列{a_n}的偶数项和奇数项为等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（3）由b_n=n+2得到a_na_n+1=n+2，进一步得到an+1−an−1＝

1

an

，代入

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

整理后利用基本不等式证得结论．

（1）由a₁=1，a₂=a＞0，若{a_n}为等比数列，
则an＝an−1，∴bn＝an−1•an＝a2n−1．
当a=1时，b_n=1，则s_n=n；
当a≠1时，sn＝
a(1−a2n)
1−a2．
（2）∵3ⁿ=a_n•a_n+1，
∴3^n-1=a_n-1•a_n（n≥2，n∈N），
∴
an+1
an−1＝3(n≥2，n∈N)．
当n=2k+1（k∈N^*）时，

a2k+2
a2k＝3
∴a2k＝a2•3k−1＝a•3k−1；
当n=2k，（k∈N^*）时，

a2k+1
a2k−1＝3
∴a2k−1＝3k−1．
∴an＝

3
n−1/2](n＝2k−1)
a•3
n−2
2(n＝2k)．
（3）证明：∵a_na_n+1=n+2 ①，
∴a_n-1a_n=n+1（n≥2）②，
①-②得an(an+1−an−1)＝1∴an+1−an−1＝
1
an(n≥2)
∴
1
a2+
1
a3

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题是数列与不等式综合题，考查了等比关系的确定，考查了首项转化思想方法，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．