（2014•鄂州模拟）设函数f（x）=a（x-1），g（x）=（x+b）lnx（a，b是实数，且a＞0）

（Ⅰ）由题意得g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即g′（x）=lnx+(x+b)
1
x＝lnx+1+
b
x≥0在（0，+∞）上恒成立．
∴[b/x≥−lnx−1（x＞0）．
∴b≥-xlnx-x．
令h（x）=-xlnx-x，只需b≥h（x）_max h′（x）=-lnx-1-1=-lnx-2．
令h′（x）＞0，得 0＜x＜e^-2．
令h′（x）＜0，得x＞e^-2．
∴h（x）在（0，e^-2）递增，在（ e^-2，+∞）递减．
∴h(x)max＝h(e−2)＝−e−2lne−2−e−2＝e−2．
∴b≥e^-2．
（Ⅱ）当b=1时，a（x-1）≤（x+1）lnx在[1，+∞）上恒成立，
等价于lnx≥
a(x−1)
x+1]在[1，+∞）上恒成立，
令ϕ(x)＝lnx−
a(x−1)
x+1，
则ϕ（1）=0且ϕ′(x)＝
1
x−
2a
(x+1)2＝
x2+2(1−a)x+1
x(x+1)2，
因x²项系数为1，则由△=4（1-a）²-4≤0，得0＜a≤2，
故当0＜a≤2时，ϕ′（x）≥0恒成立，
∴ϕ（x）在[1，+∞）上单调递增．
∴ϕ（x）≥ϕ（1）=0，即ϕ（x）≥0在[1，+∞）上单调递增．
当a＞2时，令ϕ′（x）=0，得x1＝a−1+
a2−2ax2＝a−1−
a2−2a．
∵a＞2，∴x₁＞1而x₂＜1

(⇔a−2＜
a2−2a ⇔a2−4a+4＜a2−2a
⇔4＜2a)，
∴x−(a−1−

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查函数单调性和最值与导数之间的关系，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．