对于每个正整数n，关于x的一元二次方程 x 2 - 2n+1 n(n+1) x+ 1 n(n+1) =0 的两个根分别为

∵关于x的一元二次方程 x 2 -
2n+1
n(n+1) x+
1
n(n+1) =0 的两个根分别为a _n 、b _n ，
∴A _n B _n =

[
2n+1
n(n+1) ] 2 -4
1
n(n+1)
1 =

4n 2 +1+4n
n 2 (n+1 ) 2 -
4n(n+1)
n 2 (n+1 ) 2 =
1
n(n+1) ；

∴A ₁ B ₁ +A ₂ B ₂ +…+A ₂₀₁₂ B ₂₀₁₂
=
1
1×2 +
1
2×3 +…+
1
2011×2012
=1-
1
2 +
1
2 -
1
3 +…+
1
2011 -
1
2012
=1-
1
2012
=
2011
2012 ．
故答案为
1
n(n+1) 、
2011
2012 ．