已知f（x）在[0，+∞）上连续，且满足0≤f（x）≤x，x∈[0，+∞），设a1≥0，an+1=f（an），n=1，2
已知f（x）在[0，+∞）上连续，且满足0≤f（x）≤x，x∈[0，+∞），设a1≥0，an+1=f（an），n=1，2…，证明：
（1）{an}收敛；
（2）若
an=l，则f（l）=l．
（1）{an}收敛；
（2）若
| lim |
| n→∞ |
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解题思路：（1）只需证明{an}单调有界即可；（2）利用f（x）在[0，+∞）上连续，对an+1=f（an）两边取记下，即可求证．
证明：（1）有题设条件，知
0≤a2=f（a1）≤a1，
0≤an+1=f（an）≤an，
于是{an}单调递减，有下界，
根据单调有界定理，知{an}收敛．
（2）设
lim
n→∞an＝l，由于f（x）在[0，+∞）上连续，
在an+1=f（an）中，令n→∞，取极限，得f（l）=l．
点评：
本题考点： 收敛数列的存在的判别和证明；单调有限定理．
考点点评： 此题考查单点有界收敛准则的使用和函数连续在极限中的使用，是基础知识点．
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