已知连续函数f(x)满足条件f(x)=∫3x0f(t3)dt+e2x,求f(x).

思美人 1年前 已收到1个回答 举报

戆琪 幼苗

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解题思路:首先对积分上限函数求导,得到关于f的一阶线性微分方程,然后利用通解公式进行计算.

方程f(x)=
∫3x0f(
t
3)dt+e2x 两边同时对 x 求导,可得
f′(x)=3f(x)+2e2x
即 f′(x)-3f(x)=2e2x
因为一阶微分方程 y′+P(x)y=Q(x) 的通解公式为
y=e-∫p(x)dx(∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C),

f(x)=e∫3dx(∫2e2xe∫-3dxdx+C)
=e3x(∫2e-xdx+C)
=e3x(-2e-x+C)
=Ce3x-2e2x
因为 f(0)=e0=1,代入可得 C=3.

f(x)=3e3x-2e2x

点评:
本题考点: 一阶线性微分方程的求解.

考点点评: 本题考察了积分上限函数的求导以及一阶线性微分方程的求导.需要注意的是,f(x) 的表达式暗含了初值条件 f(0)=1.

1年前

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