三角形ABC为正三角形,EC垂直平面ABC,BD垂直面ABC,M为EA中点,CE=CA=2BD 求证（1）DM平行平面ABC （2）面BDM垂直面ECA
正三角形与空间垂直关系的几何分析
题目所给条件“三角形ABC为正三角形，EC垂直平面ABC，BD垂直面ABC”描述了一个经典的空间几何结构。首先，三角形ABC是一个正三角形，意味着其三边等长，三个内角均为60度，具有高度的对称性。其次，EC和BD是两条分别垂直于平面ABC的线段。在立体几何中，垂直于同一平面的两条直线是相互平行的。因此，我们可以直接推断出EC平行于BD。这个结构构成了一个直三棱柱或更一般棱台的基础，其中平面ABC和平面EDC（假设D、E在平面ABC同侧且与C不重合）是两个互相平行的底面。
点M的性质与空间结构探讨
条件中未完全定义的“M”点，通常是问题求解的关键。在完整的几何问题中，M点可能是某条线段（如ED、AB或某条中线）的中点，或者是满足特定条件（如到各点距离相等）的点。基于已有的垂直条件，我们可以分析空间中的线面关系。由于EC和BD都垂直于底面ABC，那么由它们确定的平面（例如平面BDE或与C、D、E相关的平面）也必然垂直于底面ABC。这为建立空间直角坐标系提供了极大的便利——通常可以以正三角形ABC的中心或某一顶点为原点，建立三维坐标系。
在这样的坐标系下，正三角形各顶点的坐标可以精确表示，而由于垂直关系，点E和点D的坐标仅在竖直方向（例如z轴）上与对应底面投影点有差异。这使得计算空间中任意点M（无论其定义如何）到其他点或面的距离、证明线面平行或垂直关系、求解二面角等问题都变得程序化。例如，若M是DE的中点，利用坐标中点公式可轻松求得其坐标，进而分析其性质。总之，本题搭建了一个融合了平面几何（正三角形）与立体几何（线面垂直）的清晰框架，为深入探究点、线、面之间的度量与位置关系奠定了坚实基础。
